Бесплатная горячая линия

8 800 700-88-16
Главная - Другое - Теорема бернулли закон больших чисел примеры решения задач

Теорема бернулли закон больших чисел примеры решения задач

Теорема бернулли закон больших чисел примеры решения задач

Схема Бернулли. Примеры решения задач

5 июля 2011Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения. Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа

«найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10»

) до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты).

В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы. Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

  • A — появление события A с вероятностью p;
  • «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось.
Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось.

Следовательно, изменились и вероятности. Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных.

Сформулируем этот факт в виде теоремы: Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р.

Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где Cnk — число сочетаний, q = 1 − p. Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы.

Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным. Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2.

Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8.

Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е.

выпуск бракованного изделия. Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

  • герб выпадет три раза;
  • герб выпадет не менее двух раз.
  • герб выпадет один раз;

Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб.

Вероятность этого события равна p = 0,5.

Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5.

Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5. Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е.

k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е.

k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее».

Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е.

надо найти значение суммы X = P6(2) + P6(3) + . + P6(6). Заметим, что эта сумма также равна (1 − P6(0) − P6(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0).

Поскольку P6(1) нам уже известно, осталось найти P6(0):

Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров.

Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три? Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2.

Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна q = 1 − 0,2 = 0,8. Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8. Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора (k = 2) и три (k = 3): \[\begin{array}{l}{P_{20}}\left( 2 \right) = C_{20}^2{p^2}{q^{18}} = \frac{{20!}}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left( 3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\] Очевидно, P20(3) > P20(2), т.е.

вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая. Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»).

Так вот, 0! = 1 по определению. P. S. А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами.

Подсчитайте сами — и убедитесь.Смотрите также:

Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева и его значение.

Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.

Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и её использование в математической статистике.Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью.

Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний. делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел, а другая — центральной предельной теоремы.Рассмотрим теоремы, относящих к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определённых условий к некоторым постоянным значениям.Если случайная величина

имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа справедливо неравенство(9.1)то есть вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит и больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату .Запишем вероятность события , то есть события, противоположного событию . Очевидно, что(9.2)Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам.

Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину больше .

Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности также уменьшается, и значения случайной величины с небольшой дисперсией сосредотачиваются около её математического ожидания.Пример 1. Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на 2 мм. Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм.Решение.

По условию задачи мм и . В данном случае — размер обрабатываемых деталей. Используя неравенство Чебышева, получаемПри достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единицы, можно утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величины и математическим ожиданием этой величины по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа при условии, что случайная величина имеет конечную дисперсию, то естьгде — положительное число, близкое к единице.Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получаемТеорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или, наоборот, по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней.

Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если проведено достаточно большое количество измерений определённого параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.Пример 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочно устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, так как вес отливки, рассчитанный по металлической модели, отличается от фактического веса.

Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью более 0,9 можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчётного веса, принятого за математическое ожидание, не более чем на 0,2 кг?

Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно 0,45 кг.Решение. По условию задачи, имеем,где — средний вес отливок гильзы. Если применить к случайной величине неравенство Чебышева, получима с учётом равенств свойства математического ожидания и дисперсии среднейПодставляя в последнюю формулу данные задачи, получаем, откуда Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.При достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между относительной частой появления события в этих испытаниях е го вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа , если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равна .Утверждение теоремы Бернулли можно записать в виде неравенства(9.3)где — любые сколь угодно малые положительные числа.Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также неравенство Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде(9.4)При решение практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от её ожидаемого значения.

В этом случае случайной величиной является число появления события в независимых испытаниях.

ИмеемИспользуя неравенство Чебышева, получаемПример 3. Из 1000 изделий, отправляемых в сборочный цех, обследованию было подвергнуто 200 отобранных случайным образом изделий.

Среди низ оказалось 25 бракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии окажется бракованных изделий не более 15% и не менее 10%.Решение. Определем вероятность изготовления бракованного изделия:Наибольшее отклонение относительной частоты появления бракованных изделий от вероятности по абсолютной величине равно ; число испытаний .

Используя формулу (9.4), находим искомую вероятность:Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем — центральная предельная теорема.

Различными её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.Закон распределения суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении , если выполняются следующие условия:1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии: где .2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных:При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются перечисленные два условия): если случайная величина имеет конечные математическое ожидания и дисперсию , то распределение средней арифметической , вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины в независимых испытаниях, при приближается к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , то естьПоэтому вероятность того, что заключена в интервале , можно вычислить по формуле(9.5)Используя функцию Лапласа ([url]см.

приложение 2[/url]), формулу (9.5) можно записать в удобном для расчётов виде: где Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно.

Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный.Частным случаем предельной центральной теоремы является интегральная теорема теорема Лапласа (). В ней рассматриваются случаи, когда случайные величины дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения: 0 и 1.

О применении этой теоремы в математической статистике . (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике). Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Теорема Бернулли

. Частость события в п повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа п сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании’.

или

? Заключение теоремы (6.16) непосредственно вытекает из неравенства Чебышева для частости события (6.8) при п —» со. ? Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при большом числе п повторных независимых испытаний практически достоверно, что частость (или статистическая вероятность) события т/п — величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины р — вероятности события, т.е.

практически перестает быть случайной. Замечание. является следствием теоремы Чебышева, ибо частость события можно представить как среднюю арифметическую п независимых альтернативных случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения (4.4) (см.

параграф 4.1). Доказательство теоремы (более громоздкое) возможно и без ссылки на теорему (неравенство) Чебышева. Исторически эта теорема была доказана намного раньше более общей теоремы Чебышева.

дает теоретическое обоснование замены неизвестной вероятности события его частостью, или статистической вероятностью (см. параграф 1.3), полученной в п повторных независимых испытаниях, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Так, например, если вероятность рождения мальчика нам не известна, то в качестве ее значения мы можем принять частость (статистическую вероятность) этого события, которая, как известно по многолетним статистическим данным, составляет приближенно 0,515. является звеном, позволяющим связать формальное аксиоматическое определение вероятности (см.

является звеном, позволяющим связать формальное аксиоматическое определение вероятности (см. параграф 1.12) с эмпирическим (опытным) законом постоянства относительной частоты (см.

параграф 1.3). Теорема дает возможность обосновать широкое применение на практике вероятностных методов исследования.

Непосредственным обобщением теоремы Бернулли является теорема Пуассона, когда вероятности события в каждом испытании различны.

Теорема Пуассона. Частость события в п повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями р{, р2, рп, при неограниченном увеличении числа п сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельных испытаниях, т.е. или

?

Теорема Пуассона непосредственно вытекает из теоремы Чебышева, если в качестве случайных величин Хх, Х2, ., Хп рассматривать альтернативные случайные величины, имеющие законы распределения вида (4.4) с параметрами р{, р2, рп. Так как математические ожидания случайных величин Х{у Х2у ., Хп равны соответственно р[у р2у ., рп, а их дисперсии РЯуР2Я2у -уРпЯп(см- параграф 4.1) ограничены одним числом, то формула (6.18) непосредственно вытекает из формулы (6.9). ?

Важная роль закона больших чисел в теоретическом обосновании методов математической статистики и ее приложений обусловила проведение ряда исследований, направленных на изучение общих условий применимости этого закона к последовательности случайных величин.

Так, в теореме Маркова доказана справедливость предельного равенства (6.15) для з а в и с и м ы х случайных величин Х1 (г = 1, 2,., п) при условии Например, температура воздуха в некоторой местности Х1 (г = 1, 2, ., 365) каждый день года — величины случайные, подверженные существенным колебаниям в течение года, причем зависимые, ибо на погоду каждого дня, очевидно, заметно влияет погода предыдущих дней. Однако среднегодовая температура

почти не меняется для данной местности в течение многих лет, являясь практически неслучайной, предопределенной.

Нахождение общих условий, выполнение которых обязательно влечет за собой статистическую устойчивость средних, представляет непреходящую научную ценность исследований в области закона больших чисел. Помимо различных форм закона больших чисел в теории вероятностей имеются еще разные формы так называемого «усиленного закона больших чисел», где показывается не «сходимость по вероятности», а «сходимость с вероятностью 1» различных средних случайных величин к неслучайным средним.

Однако этот усиленный закон представляет больше интерес в теоретических исследованиях и не столь важен для его приложений в экономике.

  1. Легко показать, что для любого / имеем
  1. (ЭКОНОМЕТРИКА)
  2. (Экономико-математические методы и прикладные модели)
  3. (ПРИКЛАДНАЯ ГИДРОДИНАМИКА)
  4. (Экономико-математические методы и прикладные модели)
  5. (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ)
  6. (Экономико-математические методы и прикладные модели)
  7. (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
  8. (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
  9. (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА )

Студми. Учебные материалы для студентов (info{aт}studme.org) © 2013 — 2020

Испытания по схеме Бернулли

Производится n опытов по схеме Бернулли с вероятностью успеха p.

Пусть X — число успехов. Случайная величина X имеет область значений {0,1,2,.,n}.
Вероятности этих значений можно найти по формуле:

, где Cmn — число сочетаний из n по m.

Ряд распределения имеет вид: x01.mn p(1-p)nnp(1-p)n-1.Cmnpm(1-p)n-mpn Этот закон распределения называется .

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор используется для построения биноминальным ряда распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word. Число испытаний: n = , Вероятность p = При малой вероятности p и большом количестве n (np .

Число испытаний: n = , Вероятность p = При малой вероятности p и большом количестве n (np . Далее Видеоинструкция Схема испытаний Бернулли (2014-12-23) Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону.

M[X]=np Дисперсия случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону.

D[X]=npq Пример №1. Изделие может оказаться дефектным с вероятностью р = 0.3 каждое.

Из партии выбирают три изделия.

Х – число дефектных деталей среди отобранных. Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей): а) ряд распределения Х; б) функцию распределения F(x).

Решение. Случайная величина X имеет область значений {0,1,2,3}. Найдем ряд распределения X. P3(0) = (1-p)n = (1-0.3)3 = 0.34P3(1) = np(1-p)n-1 = 3(1-0.3)3-1 = 0.44

P3(3) = pn = 0.33 = 0.027 xi 0 1 2 3 pi 0.34 0.44 0.19 0.027 Математическое ожидание находим по формуле M[X]= np = 3*0.3 = 0.9 Проверка: m = ∑xipi.Математическое ожидание M[X].M[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9 Дисперсию находим по формуле D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63 Проверка: d = ∑x2ipi — M[x]2.

Дисперсия D[X].D[X] = 02*0.34 + 12*0.44 + 22*0.19 + 32*0.027 — 0.92 = 0.63 Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Функция распределения F(X).F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1

  • Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий при четырех выстрелах, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8.
  • Вероятность появления события в одном испытании равна 0.6. Производится 5 испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений события.
  • Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений герба. Примечание: здесь вероятность появление герба равна p = 1/2 (т.к. у монеты две стороны). Пример №2. Вероятность появления события в отдельном испытании равна 0.6. Применяя теорему Бернулли, определите число независимых испытаний, начиная с которого вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше 0.1, больше 0.97. (Ответ: 801) Пример №3. Студенты выполняют контрольную работу в классе информатики. Работа состоит из трех задач. Для получения хорошей оценки нужно найти правильные ответы не меньше чем на две задачи. К каждой задаче дается 5 ответов из которых только одна правильная. Студент выбирает ответ наугад. Какая вероятность того, что он получит хорошую оценку? Решение. Вероятность правильно ответить на вопрос: p=1/5=0.2; n=3. Эти данные необходимо ввести в калькулятор. В ответ см. для P(2)+P(3). Пример №4. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна (m+n)/(m+n+2). Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз. Примечание. Вероятность того, что он промахнется не более двух раз включает в себя следующие события: ни разу не промахнется P(4), промахнется один раз P(3), промахнется два раза P(2). Пример №5. Определите распределение вероятностей числа отказавших самолётов, если влетает 4 машины. Вероятность безотказной работы самолета Р=0.99. Число отказавших в каждом вылете самолётов распределено по биноминальному закону. Задача 4. Среди 11 изделий 7 изделия первого сорта. Наудачу выбрали четыре изделия. случайная величина X – число первосортных изделий среди выбранных четырех изделий. 1. Составить закон распределения случайной величины X. 2. Построить полигон относительных частот. 3. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X, построить ее график. 4. Найти характеристики случайной величины X: а) математическое ожидание M(X); б) дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(Х); в) моду M0. Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,.,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле: Pn(m) = Cmnpmqn-m где Cmn — число сочетаний из n по m.

    Найдем ряд распределения X. P4(0) = (1-p)n = (1-0.636)4 = 0.0176 P4(1) = np(1-p)n-1 = 4(1-0.636)4-1 = 0.12

    P4(4) = pn = 0.6364 = 0.16 xi 0 1 2 3 4 pi 0,0176 0,12 0,32 0,37 0,16 Полигон относительных частот Мода равна тому значению X, при котором вероятность максимальная. В данном примере максимальная вероятность p =0,37 соответствует X = 3. Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi. Математическое ожидание M[X]. M[x] = 0*0.0176 + 1*0.12 + 2*0.32 + 3*0.37 + 4*0.16 = 2.54 Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi — M[x]2. Дисперсия D[X]. D[X] = 02*0.0176 + 12*0.12 + 22*0.32 + 32*0.37 + 42*0.16 — 2.542 = 0.92601646 σ(x). Функция распределения F(X). F(x≤0) = 0 F(0< x ≤1)="0.01755518">< x ≤2)="0.12269340" + 0.01755518="0.14024858">< x ≤3)="0.32156460" + 0.14024858="0.46181318">< x ≤4)="0.37456972" + 0.46181318="0.8363829" f(x>4) = 1 Пример 1. Вероятность того, что трамвай подойдет к остановке строго по расписанию, равна 0,7. X — число трамваев, прибывших по расписанию из 4 исследуемых. Составить закон распределения дискретной случайной величины X, вычислить M(X), D(X), σ(X), построить и график функции распределения F(X). Решение. Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,.,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:Pn(m) = Cmnpmqn-mгде Cmn — число сочетаний из n по m.

    Найдем ряд распределения X.P4(0) = (1-p)n = (1-0.7)4 = 0.0081P4(1) = np(1-p)n-1 = 4(1-0.7)4-1 = 0.0756

    P4(4) = pn = 0.74 = 0.2401 x 0 1 2 3 4 p 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401 Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.Математическое ожидание M[X].M[x] = 0*0.0081 + 1*0.0756 + 2*0.2646 + 3*0.4116 + 4*0.2401 = 2.8Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi — M[x]2.Дисперсия D[X].D[X] = 02*0.0081 + 12*0.0756 + 22*0.2646 + 32*0.4116 + 42*0.2401 — 2.82 = 0.84Среднее квадратическое отклонение σ(x).

    Пример 2. Вероятность того, что телевизор проработает гарантийный срок без поломки, равна 0.8. Закупили 4 телевизора. Какова вероятность того, что три телевизора не проработают гарантийный срок? Решение. В поле вероятность вводим значение p = 1- 0 .8 = 0.2, поскольку нас интересует вероятность поломки.

    Ответ: Вероятность того, что три телевизора не проработают гарантийный срок равна 0.0256. Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров ( или ).Закрыть Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров ( или ).Закрыть Закрыть 12+ Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2019

5.2. Понятие о законе больших чисел.

Закон больших чисел в форме Чебышева и форме Бернулли

Под законом больших чисел (ЗБЧ) в теории вероятностей понимается ряд теорем, в которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию СВ. Определение 5.1. Говорят, что последовательность случайных величин — » имеющая конечные математические ожидания, удовлетворяет закону больших чисел, если Замечание 5.4.

Если Mt)l = a,i= 1,2,., то условие будет иметь вид Определение 5.2. Последовательность случайных величии схо- р дится к СВ ?, по вероятности (обозначение %п —если для любого с > 0 НтР{|^-^| П—>30 Можно показать, что если

если b * 0. Таким образом, закон больших чисел устанавливает сходимость по вероятности среднего арифметического большого числа случайных величин к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Закон больших чисел составляют несколько положений, главными из которых применительно к независимым случайным величинам являются теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема 5.2 (ЗБЧ в форме Чебышева).

Если ?i,?2»— — последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С, т.е. D,то каково бы ни было постоянное z > 0, выполнено Доказательство. Чтобы доказать теорему, следует показать, что Используя неравенство Чебышева, имеем при П—>оо.

Следствие 5.1. Если попарно независимые СВ & = 1, 2,., таковы, что =а и выполняется Пример 5.2. Сколько раз нужно измерять величину с истинным значением а, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое этих измерений отличается от а по модулю меньше, чем па 2, если дисперсия измерений не больше 100? Решение. В соответствии со следствием теоремы Чебышева нужно найти число п, которое удовлетворяет неравенству где 8 = 2; D%= 100.

Получим

Таким образом, измерять нужно нс менее 500 раз. Теорема 5.3. (ЗБЧ в форме Бернулли). Пусть р — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха Р( У) = р.

Тогда, каким бы пи было постоянное z > 0, выполнено Доказательство.

Очевидно, р можно записать как

где IvI2>—,In — независимые СВ, так как каждая из них связана только со своим испытанием. Так как Р(У) = р, то т.е. С = 1/4, где С — параметр из теоремы 5.2.

Таким образом, все условия следствия 5.1 выполнены.

Отсюда следует справедливость формулы (5.3). Замечание 5.5. Поскольку ^ — относительная частота успеха, а р — вероятность успеха, то ЗБЧ в форме Бернулли на практике дает возможность определять неизвестные вероятности приближенно из опыта. Для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число экспериментов, которые дали прекрасное совпадение с теорией.

Для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число экспериментов, которые дали прекрасное совпадение с теорией.

  1. (Страхование)
  2. (МЕТОДОЛОГИЯ И МЕТОДЫ СОЦИОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ )
  3. (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)
  4. (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)
  5. (ЭКОНОМЕТРИКА)
  6. (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)
  7. (ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ: ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ)
  8. (ЭКОНОМЕТРИКА)
  9. (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)

Студми. Учебные материалы для студентов (info{aт}studme.org) © 2013 — 2020

Закон больших чисел в форме Бернулли и Пуассона

Практика изучения случайных событий показала, что относительная частота появления случайного события в серии независимых испытаний, когда в каждом испытании вероятность появления события постоянная, имеет свойство с ростом числа испытаний приближаться к устойчивому значению — вероятности этого события.

Этот факт отметил Я. Бернулли, ив 1713 г. он сформулировал и доказал теорему, которую называют законом больших чисел в форме Бернулли, а С.Д. Пуассон распространил результат теоремы Бернулли на случай, когда вероятность в каждом испытании не является величиной постоянной.

Теорема 7.3 (закон больших чисел в форме Бернулли). Если в каждом из п независимых испытаний вероятность появления случайного события Л постоянна и равна р, то вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты от вероятности р будет сколь угодно малой, тем ближе к единице, чем больше число испытаний.

Другими словами, для сколь угодно малого е > 0 при неограниченном возрастании числа испытаний п выполняется равенство

Доказательство.

Заметим сразу, что в теореме речь идет о случайном событии, а не о случайной величине.

Пусть случайное событие Л в ходе п независимых испытаний принимает значения Xi (/= 1, 2,.,«). По условию теоремы в каждом испытании Л может появиться с вероятностью р и не появиться с вероятностью q = (1 -р); при этом если событие появилось в к-м испытании, то Хк = 1, а если не появилось в г-м испытании, то Хг = 0. В этом случае среднее арифметическое значение случайной величины Xt равно

И если событие в п независимых испытаниях появилось т раз, то сумма Тогда среднее арифметическое

Рассмотрим, чему равно математическое ожидание М(Х^) и дисперсия DiXj) случайной величины Хг которая может появиться в одном испытании с вероятностьюр и не появиться с вероятностью (1 -р) = д.

По определению

Тогда

Заметим при этом, что дисперсия случайной величины Xj ограничена, так как */4 — р( 1 — р) = (р — [/2)2 > 0, из чего следует, что р( 1 — р) = pq 4, т.е.

условия теоремы Чебышева для случайной величины Xt выполнены. Теперь, используя теорему закона больших чисел в форме Чебышева (7.7), получим а затем, приняв С = р( 1 -р) и учитывая (7.9), получим Из этого следует, что

Замечание. И в данном случае необходимо помнить, что данный предел понимается как

т что означает, что при п —> °° относительная частота — стремится к р п по вероятности.

Пример. Вероятность сборки качественной микросхемы на автоматической линии постоянна для каждой микросхемы и равна 0,97. Оценить вероятность того, что при сборке 500 микросхем относительная частота появления качественных микросхем отклонится от вероятности этого события не более чем на 0,02.

Решение. Для оценки вероятности события, описанного в условии примера (| т/п — 0,97| п = 500, р = 0,97, q = 0,03, ? = 0,02. Подставляя эти значения, получим Практика проведения статистических испытаний для получения вероятностных характеристик показывает, что выдержать условия проведения испытаний, когда вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, достаточно проблематично. Поэтому возникла проблема получения достоверных оценок при проведении большого числа независимых испытаний, которые проводятся при весьма разнообразных условиях; таким образом, вероятность появления случайного события в каждом испытании непостоянна и зависит от этих условий.

Чаще всего это делается для проверки справедливости той или иной теоретической гипотезы. Оказалось, что такая проверка может быть осуществлена, если сравнивать наблюдаемую в испытаниях относительную частоту со средним арифметическим вероятностей, вычисленных для различных условий.

Приведем (без доказательства) теорему Пуассона для такого случая, вывод которой следует из теоремы Чебышева точно так же, как теоремы Бернулли.

Теорема 7.4 (закон больших чисел в форме Пуассона). Если производится п независимых испытаний и вероятность появления события Л в каждом испытании равна рк (к = 1, 2, 3, ., п), то при т неограниченном увеличении п относительная частота — сходится п по вероятности к среднему арифметическому вероятностей:

Пример. Вероятность эффекта рекламной деятельности от размещения 150 рекламных роликов на TV равна 0,25; 150 плакатов в метро — 0,20; 150 сообщений на радио — 0,15 и размещения 150 листовок по подъездам жилых домов — 0,10.

Оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты от математического ожидания вероятности эффекта от рекламной деятельности не превысит 0,03.

Решение. Для оценки вероятности воспользуемся неравенством

где р =— Y*Pk =—(0,25 + 0,20 + 0,15 + 0,10) = 0,175; п = 600; в = 0,03. Пк=1 4 Подставляя эти значения в неравенство, получим

Замечание. Рассмотренные теоремы, к сожалению, не дают точного значения вероятности рассматриваемых событий.

Они указывают только на ее нижнюю или верхнюю оценку границы. Приближенное значение вероятностей можно получить при больших значениях п с помощью предельных теорем. В них, как правило, на случайные величины накладываются дополнительные условия и ограничения.

Теорема Пуассона бывает полезной при проверке вероятностных расчетов.

Пусть необходимо проверить правильность предположения о вероятности получения дополнительного дохода от внедрения в практику некоторой теоретически разработанной гипотезы, положенной в основу метода вычисления вероятности указанного события.

При экспериментальной проверке сформулированной гипотезы воспроизвести одинаковые условия эксперимента бывает не всегда возможно. В этом случае осуществить проверку гипотезы можно, сравнивая экспериментальную относительную частоту не с вероятностью события, а со средним арифметическим вероятностей, вычисленных для различных условий.

Дальнейшие обобщения закона больших чисел были получены в работах выдающихся математиков отечественной математической школы А.М. Ляпунова, А.А. Маркова, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова.

Алгебра и начала математического анализа.

11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 классУрок №36. Формула Бернулли.Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  1. Формула Бернулли
  2. Решение задач на вычисление вероятности;
  3. Суть задачи, решаемой с применением формулы Бернулли;

Глоссарий по темеНезависимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.Полная группа события – это система случайных событий, такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них.Рассмотрим важный частный случай: проводятся nодинаковых независимых испытаний с двумя исходами А или Ā. Вероятности P(А)=p и P(Ā)=1-p=q постоянны и не равны ни нулю, ни единице.

Вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n, равна P(k) = Cnkpkqn-k, k=0, 1, 2 … n, Cnk – число сочетаний из n по k.Эта формула называется «формулой Бернулли», а модель, описывающая совокупный результат n независимых испытаний с двумя исходами (А или Ā) называется «схемой Бернулли».Основная литература:Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е.

и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.

– М.: Просвещение, 2014. с. 197-203.Открытые электронные ресурсы:Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам .Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. .Теоретический материал для самостоятельного изученияПопробуйте решить такую задачу:Бросаем монетку десять раз. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно пять раз?Ответ.

63/256Достаточно часто возникает необходимость узнать вероятность появления определённого события в серии испытаний.

Формулу для расчёта такой вероятности вывел выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли.

В этом уроке мы познакомимся с формулой Бернулли и научимся её применять в решении задач.Формула БернуллиРассмотрим важный частный случай: проводятся n одинаковых независимых испытаний с двумя исходами А или Ā. Вероятности P(А)=p и P(Ā)=1-p=q постоянны и не равны ни нулю, ни единице.

Такие испытания иногда называют испытаниями Бернулли, исход А – успех, а исход Ā – неудача.По теореме умножения вероятностей независимых событий для каждого элементарного события найдем вероятность, равную произведению вероятностей результатов отдельных испытаний: pkqn-k, где k– количество опытов, в которых произошло событие A, (n-k) – количество опытов, в которых произошло событие Ā.

Якоб Бернулли впервые доказал, что вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n, равна P(k) = Cnkpkqn-k, k=0, 1, 2 … n, Cnk– число сочетаний из n по k.Эта формула называется «формулой Бернулли», а модель, описывающая совокупный результат n независимых испытаний с двумя исходами (А или Ā) называется «схемой Бернулли».Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля1. Охотник Джек попадает в мишень в среднем четыре раза из пяти. Последние четыре раза он попал.

Какова вероятность, что он попадёт в следующий раз? Выделите цветом правильный ответ.

  • 0,1
  • 0,2
  • 0,4
  • 0,8

Решение:Вероятность каждого успеха не зависит от результатов предыдущих испытаний и составляет 4/5 = 0,8.Ответ: 1) 0,82. Подчеркните событие, которое более вероятно: выбросить шестёрку 3 раза, бросив кубик 6 раз, или вытянуть из колоды двух тузов, вытащив четыре карты.Решение:Вероятность выбросить шестёрку три раза за шесть бросков кубикаP6(3) = C63·(1/6)3·(5/6)3 = 20·(1/216)·(125/216) ≈ 0,0536Вероятность вытянуть двух тузов, вытащив четыре карты из колоды – сумма вероятностей шести событий в каждом из которых тузы выпадают на разных позициях: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4.

При этом вероятности этих шести событий равны между собой.P = (4/36)·(3/35)·(32/34)·(31/33) + (4/36)·(32/35)·(3/34)·(31/33) + … = 6·(4·3·32·31)/(36·35·34·33) ≈ 0,0505.В итоге оказывается, что вероятность выкинуть три шестёрки за шесть бросков кубика, чуть выше, чем вероятность вытянуть двух тузов, вытащив четыре карты.Ответ: выбросить шестёрку 3 раза, бросив кубик 6 раз

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева

Закон больших чисел При многократном повторении испытаний, массовые случайные явления могут проявляться с определёнными закономерностями.

Эти закономерности обладают свойством устойчивости, суть которого состоит в том, что действие отдельной случайной величины почти не влияет на среднее значение большого числа подобных величин.

Для практики важно знать условия } , в результате которых действие многих случайных величин приводит к результату почти не зависимому от случая.

Эти условия или эту зависимость между случайностью и закономерностью устанавливают предельные теоремы вероятностей. Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами.

Закон больших чисел — это обобщённое название нескольких теорем из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний, среднее значение этих величин стремится к некоторым постоянным числам. По смыслу эти теоремы можно разбить на две группы. Одна группа — закон больших чисел { теоремы Чебышева, Бернулли } , другая — центральная предельная теорема { теорема Ляпунова } Для доказательства этих теорем потребуется неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин.

Пусть у нас есть дискретная случайная величина, заданная рядом распределения.

$ \begin{array} { l|l|l|l|l|l } X & X_1 & X_2 & X_3 & \cdots & X_n \\ \hline P & P_1 & P_2 & P_3 & \cdots & P_n \end{array} $ Требуется оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа $\xi$. Теорема { неравенство Чебышева } . Для произвольной случайной величины X с математическим ожиданием a=M(X) и дисперсией $\sigma ^2=D( x )$, для любого $\xi >0$ справедливо равенство \begin{equation} \label { eq2 } P( { \left| { x-a }\right|>\xi } )\leqslant \frac { \sigma ^2 } { \xi ^2 } \qquad (2) \end{equation} \begin{equation} \label { eq3 } P( { \left| { x-a }\right|\leqslant \xi } )\geqslant 1-\frac { \sigma ^2 } { \xi ^2 } \qquad (3) \end{equation} Из неравенства Чебышева следует — чем меньше $D(x)$, тем меньше вероятность отклонения.

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин.

В форме { 1 } оно устанавливает верхнюю границу, а в форме { 3 } — нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Запишем неравенство Чебышева в форме { 3 } для случайной величины Х имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием $а=M { X } =np$ и дисперсией $D(X)=npq$. $ P( { \left| { x-np }\right|\leqslant \xi } )\geqslant 1-\frac { npq } { \xi ^2 } $ В основном неравенство Чебышева имеет теоретическое значение для теорем.

Пример. Средний расход воды на ферме составляет 1000л. в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000л.

Решение. Пусть $X$ — расход воды на ферме.

По условию $M(x)=1000$. Дисперсия $D(x)=\sigma ^2\leqslant 200^2$. Так как границы интервала $0\leqslant X\leqslant 2000$ симметричны относительно математического ожидания $M(x)=1000$, то для оценки вероятности искомого события применим неравенство Чебышева: $P(X\leqslant 2000)=P(0\leqslant X\leqslant 2000)=P( { \left| { X-1000 }\right|\leqslant 1000 } )\geqslant 1-\frac { 200^2 } { 1000^2 } =0,96$, т.е. не менее, чем 0,96.

2.10.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Если число испытаний П Велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными.

В то же время большие значения П Позволяют заменять эту формулу приближенными асимптотическими формулами. Рассмотрим три такие формулы. Теорема 2.5. (Формула Пуассона)Если

так, что

, то

(2.5) Формула (2.5) дает хорошие результаты, если Npq<>

если же npq>9, то для вычисления вероятности

можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа. Теорема 2.6.(Локальная теорема Муавра–Лапласа).

Вероятность появления события Т раз в П независимых испытаниях при больших значениях П приближенно определяется по формуле

(2.6) Где

Теорема 2.7.(Интегральная теорема Муавра–Лапласа). Вероятность того, что число появлений события в П независимых испытаниях находится в пределах Т1£ т £ т2 и при больших значениях П приближенно определяется по формуле

(2.7) Где Функция Ф(Х) называется Функцией Лапласа. Для функций

имеются таблицы ее значений.

Функция

является четной, а функция Ф(Х) – нечетной, т. е.

; Ф(– Х)= – Ф(Х); Из интегральной теоремы Лапласа можно вывести формулу для вероятности отклонения относительной частоты Т/п События в серии испытаний от постоянной вероятности Р этого события в одном испытании:

(2.8) Пример 2.21.

Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что в пути будут повреждены три изделия.

. Можно считать, что имеем дело со схемой Бернулли, в которой испытания проводятся 500 раз. Так как число П=500 достаточно велико, а вероятность P=0.002 мала (причем Npq=500×0.002×0.998»2<9), то воспользуемся приближенной формулой (2.5), где l="Np" =500×0.002> Пример 2.22.

Найти вероятность того, что событие происходит 80 раз в 400–х испытаниях, если вероятность этого события в каждом испытании равна 0.2.

. Здесь П=400 достаточно велико, но величина Npq также велика (Npq=400×0.2×0.8=64>9), поэтому воспользуемся формулой (2.6). Вычисляем По таблице функции находим

(0)=0.3989.

Окончательно получаем: Пример 2.23. Найти вероятность того, что в 400–х испытаниях событие произойдет не более 70–ти раз, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0.2.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа для вычисления вероятности

: Пример 2.24. Определим, сколько надо провести испытаний, чтобы с вероятностью 0.95 относительная частота выпадения «орла» отличалась от вероятности Р=0.5 этого события не более чем на 5%.

Решение. Воспользуемся формулой (2.8).

В нашем случае Р=0.5, Q=0.5, e=0.5 0.05=0.025. По условию задачи Или

Пользуясь таблицей функции Лапласа, по значению функции находим значение аргумента:

т. е.

Отсюда находим, что П=1536.64.

Последние новости по теме статьи

Важно знать!
  • В связи с частыми изменениями в законодательстве информация порой устаревает быстрее, чем мы успеваем ее обновлять на сайте.
  • Все случаи очень индивидуальны и зависят от множества факторов.
  • Знание базовых основ желательно, но не гарантирует решение именно вашей проблемы.

Поэтому, для вас работают бесплатные эксперты-консультанты!

Расскажите о вашей проблеме, и мы поможем ее решить! Задайте вопрос прямо сейчас!

  • Анонимно
  • Профессионально

Задайте вопрос нашему юристу!

Расскажите о вашей проблеме и мы поможем ее решить!

+